什么是交叉熵與相對熵?

一、什么是交叉熵與相對熵

交叉熵（Cross-entropy）和相對熵（Kullback-Leibler divergence，簡稱KL散度）都是信息論中的重要概念，常用于比較兩個(gè)概率分布之間的差異。

1、交叉熵（Cross-entropy）：

對于兩個(gè)概率分布P和Q，它們的交叉熵定義為：

H(P, Q) = -Σ P(x) * log(Q(x))

其中，x代表所有可能的事件或樣本，P(x)和Q(x)分別是分布P和Q在事件x上的概率。log通常是以2為底或以e為底的對數(shù)，這取決于所使用的信息單位。

交叉熵可以理解為用概率分布Q來編碼來自分布P的樣本所需的平均信息量。當(dāng)兩個(gè)概率分布相似時(shí)，交叉熵較小，而當(dāng)它們之間差異較大時(shí)，交叉熵較大。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，交叉熵常用于衡量模型預(yù)測的概率分布與真實(shí)標(biāo)簽的概率分布之間的差異，特別用于分類問題的損失函數(shù)。通過最小化交叉熵，可以幫助模型更好地?cái)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并提高分類性能。

2、相對熵（Kullback-Leibler divergence，KL散度）：

相對熵用于衡量兩個(gè)概率分布之間的差異。對于兩個(gè)概率分布P和Q，它們的相對熵定義為：

D_KL(P || Q) = Σ P(x) * log(P(x) / Q(x))

相對熵衡量了將真實(shí)分布P用于表示數(shù)據(jù)所需的額外信息量，與用概率分布Q來表示數(shù)據(jù)相比。它不是對稱的，即D_KL(P || Q) 不等于 D_KL(Q || P)。

相對熵是非負(fù)的，當(dāng)且僅當(dāng)P和Q是相同的概率分布時(shí)取得最小值為0。當(dāng)P和Q之間的差異增大時(shí)，相對熵也會(huì)增大。

在機(jī)器學(xué)習(xí)和信息論中，相對熵通常用于度量模型預(yù)測與真實(shí)分布之間的差異。它是交叉熵的一種特殊情況，當(dāng)P和Q是離散概率分布時(shí)，交叉熵等于相對熵。

二、交叉熵與相對熵的應(yīng)用場景

1、損失函數(shù)

交叉熵在機(jī)器學(xué)習(xí)中常被用作損失函數(shù)，特別是在分類任務(wù)中。損失函數(shù)用于衡量模型預(yù)測結(jié)果與真實(shí)標(biāo)簽之間的差異，幫助模型學(xué)習(xí)逼近真實(shí)分布。對于分類問題，交叉熵?fù)p失函數(shù)可以測量模型預(yù)測的概率分布與真實(shí)標(biāo)簽的分布之間的差異。通過最小化交叉熵?fù)p失函數(shù)，模型可以學(xué)習(xí)到更準(zhǔn)確的概率分布，提高分類的準(zhǔn)確性。

3、模型評估

相對熵（KL散度）常被用于衡量兩個(gè)概率分布之間的差異。在模型評估中，可以使用相對熵來比較模型預(yù)測的概率分布與真實(shí)分布之間的相似程度。如果兩個(gè)分布完全一致，相對熵為0；而如果兩個(gè)分布差異很大，相對熵會(huì)較大。因此，相對熵可以幫助我們評估模型的預(yù)測性能和擬合能力。在生成模型中，常常使用相對熵來評估模型生成樣本的質(zhì)量和多樣性。

3、信息量度量

相對熵（KL散度）也被用作信息論中的度量指標(biāo)。在信息論中，相對熵用于衡量兩個(gè)概率分布之間的信息差異。相對熵可以衡量信息傳輸時(shí)的信息損失，因此在信息傳輸和編碼中有重要的應(yīng)用。交叉熵在信息論中也被用來度量兩個(gè)概率分布之間的信息差異，特別是在壓縮編碼和信息傳輸中。交叉熵可以用來衡量編碼長度和信息傳輸效率，從而優(yōu)化信息傳輸過程。

4、優(yōu)化算法中的應(yīng)用

交叉熵在優(yōu)化算法中也有廣泛的應(yīng)用。在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)模型時(shí)，常常使用梯度下降等優(yōu)化算法來最小化交叉熵?fù)p失函數(shù)。梯度下降算法根據(jù)交叉熵?fù)p失函數(shù)的梯度方向更新模型參數(shù)，使得損失函數(shù)逐漸減小，從而優(yōu)化模型的性能。交叉熵?fù)p失函數(shù)在優(yōu)化算法中的應(yīng)用，使得模型能夠更快地收斂到優(yōu)異解，提高了模型的訓(xùn)練效率。

5、生成對抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）中的應(yīng)用

交叉熵在生成對抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）中也起著重要的作用。GAN是一種用于生成新樣本的深度學(xué)習(xí)模型，它包含兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)：生成器和判別器。生成器試圖生成與真實(shí)樣本相似的樣本，而判別器試圖區(qū)分真實(shí)樣本和生成樣本。在GAN的訓(xùn)練過程中，交叉熵被用于衡量判別器的分類性能。具體而言，交叉熵用于測量判別器對真實(shí)樣本和生成樣本的分類準(zhǔn)確性，從而指導(dǎo)生成器生成更加逼真的樣本。

6、信息檢索中的應(yīng)用

交叉熵在信息檢索中也有應(yīng)用。信息檢索是指從大規(guī)模數(shù)據(jù)集中檢索出與用戶查詢相關(guān)的信息。在信息檢索中，常常使用交叉熵來計(jì)算查詢詞和文檔之間的相關(guān)性。通過計(jì)算查詢詞和文檔的交叉熵，可以得到一個(gè)衡量文檔相關(guān)性的指標(biāo)，從而幫助用戶找到最相關(guān)的信息。

延伸閱讀

熵是什么

熵是信息論中的一個(gè)重要概念，用于衡量隨機(jī)變量的不確定性或信息量。

在信息論中，對于一個(gè)離散隨機(jī)變量X，其熵（Entropy）H(X) 定義為：

H(X) = – Σ P(x) * log(P(x))

其中，x 代表隨機(jī)變量 X 所有可能的取值，P(x) 是 X 取值為 x 的概率，log 是以2為底或以e為底的對數(shù)，這取決于所使用的信息單位。

熵可以理解為隨機(jī)變量X的不確定性或信息量。當(dāng)隨機(jī)變量X的概率分布更加均勻時(shí)，熵會(huì)較大，表示不確定性較高，需要更多的信息來描述隨機(jī)變量的取值。相反，當(dāng)隨機(jī)變量X的概率分布更加集中在某些取值上時(shí)，熵會(huì)較小，表示不確定性較低，需要較少的信息來描述隨機(jī)變量的取值。